O Geogebra é um software gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo.
Possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas, e permite que , equações e coordenadas possam ser inseridas diretamente. Assim, tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si:
a) sua representação geométrica e b) sua representação algébrica
LINKS SOBRE O GEOGEBRA
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/apostilas/diversos/geogebra.pdf
EXEMPLO1: Construir um retângulo
COMANDOS A SEREM UTILIZADOS

PROCEDIMENTOS
a) Construa um ponto A clicando no botão NOVO PONTO, e a seguir, , clique num local da janela gráfica onde deseja colocar o ponto A.
b) Construa uma perpendicular por A ao eixo horizontal, usndo o comando RETA PERPENDICULAR e a seguir, , clica-se no eixo dos x e no ponto A para se obter o traçado da perpendicular
c) Marca-se sobre a perpendicular um ponto B clicando-se no comando NOVO PONTO e sobre a reta.
d) Tra~ça-se outra perpendicular ao eixo vertical por B, clicando no comando RETA PERPENDICULAR e a seguir no ponto B e no eisxo vertical.
e) msarca-se o ponto C a direita da perpendicular ao eixo horizontal, usando o comando NOVO PONTO e clicando sobre a perpendicular ao eixo vertical, obtendo o ponto C
h) para se obter o ponto D clica-se no MENU NOVO PONTO / INTERSEÇÃO DE 2 OBJETOS e a seguir clica-se no cruzamento das reta que definem o ponto D.
h) Finalmente vai-se definir o polígono usando o comando POLIGONO, e usando o comando ARRASTAR, clica-se no ponto A e arrasta-se o mouse pelos pontos B, C, D e A novamente, para se obter o polígono.
PROVANDO A SOMA DE UMA PG INFINITA POR TRIGONOMETRIA
No caderno do professor da fundação CESGRANRIO, no curso de Pós Graduação Lato Sensu – Especilalização em Avaliação Escolar foi proposta a demonstração abaixo utilizando a Trigonometria .
A demonstração é uma interessante alternativa para se provar a soma de uma PG infinita, sem recorrer diretamente aos conceitos do cálculo, já que induz o aluno a concluir a validade da fórmula.
Utilizou-se o Geogebra para montar a demonstração de modo gráfico, conforme figura abaixo.
Usando a propriedade a) tem-se que:
no triângulo AAoBo è AoA1 = 1
no triângulo AA1B1 è A1A2 = cos α e A1B1 = A0A1 = 1
no triângulo AA2B2 è A2A3= (cos α)^2 e A2B2 = A1A2 = cos α
e assim sucessivamente.
Tem-se que AAo = 1 + cos α + (cos α)^2 + ... , e α diferente de +/- PI/2.
Porém AAo representa a soma de uma PG infinita definida por S = a1 / (1 – q), onde a1 =1 e q = cos α.
MUDANÇA DO ESTADO FÍSICO DA ÁGUA



A) importa-se a figura da curva de mudança da água pelo comando INSERIR IMAGEM.
B) Marca-se um ponto A=(2,5) na região sólida.
C) Por A tira-se uma perpendicular ao eixo vertical.
D) Onde a reta cruzar o gráfico marcam-se os pontos B sobre a curva de fusão o, C na fase líquida, D sobre a curva de vaporização e F sobre a fase vapor.
E) Marca-se o segmento AF sobre a reta.
F) Pelos referidos pontos traçam-se as perpendiculares ao eixo horizontal obtendo-se os pontos T1, T2, T3, T4 e T5 sobre o eixo Ox.
G) Marcam-se os segmentos AT1, BT2, CT3, DT4 e FT5. A seguir em propriedades altera-se o estilo dos mesmos para tracejados.
H) Ocultam-se As retas perpendiculares aos eixos em propriedade de cada reta.
COLOCAÇÃO DO PONTO P SOBRE O SEGMENTO AF
I) Insere-se um seletor a no intervalo [2 , 8]
J) Insere-se no comando ENTRADA o ponto P=(a , 5) comandado pelo seletor a.
K) Anima-se o seletor em suas propriedades.
L) Tem-se então o ponto “passeando” sobre AF, mostrando de forma dinâmica as passagens definidas na Física e na Química para uma certa pressão constante.
GRÁFICO COMPARATIVO DA FÍSICA E DA QUÍMICA

Dados os pontos A=(t1 , s1) e B=(t2 , s2) define-se a velocidade média entre A e B à relação:
Vm = delta s / delta t = 9s2 – s1) / (t2 – t1)Exemplo: Um móvel passa pelos pontos A=(2 , 9) e B=(7 , 14), onse (t=s , s=m). Calcular a velocidade média no trecho AB.
resolvendo pelo Geogebra tem-se a figura abaixo:
a) Na ENTRADA digitam-se A=(x1=2 , y1= 9) e B=(x2=7 , y2=14).
b) Pelos pontos A e b determina-se a reta r pelo comando CRIAR RETA POR 2 PONTOS
c) A declividadade da reta m será dado por
m = vm = delta s / delta t = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m = (14 - 9) / (7 - 2) = 1
d) Seja Pentre A e B de modo a se ter a figura ao lado
por semelhança de triãngulo tem-se que
triâng ABC semelhante triang APC' logo
(14 - 9) / (7 - 2) = ( y - 9 ) / 9x - 2)
==> y = x + 7 (ou s = t + 7 )
e) No Geogebra insere-se um seletor a no
intervalo [2 , 7].
f) Na ENTRADA insere-se função[x + 7 , 2 , 7]
g) na ENTRADA digitam-se P=(a , f(a)), P_x=(a , 0) e P_y=(0 , f(a)).
h) A seguir definem-se os segmentos para ancorar P: PP_x e PP_y e em propriedades marca-se o estilo tracejado.
i) Conforme p anda pelo segmento AB dá para se perceber que a inclinação da reta é constante, o que caracteriza a velocidade média no trecho dada por delta s / delta t.
ANÁLISE GRÁFICA DO M.U. NO GEOGEBRA
Dado um gráfico s = f(t), pode-se no Geogebra fazer a construção do grafico de v = f(t) e a partir dai fazer uma análise gráfica do movimento e tirar as conclusões a partir dos mesmos.
para tornar
EXEMPLO:
Um ponto material realiza M.U. de função horária s = -10 + 5t (S.I.) Pede-se:a) gráfico de s = f(t); b) o gráfico v = f(t); c) o espaço inicial em metros; d) a velodicade inicial do móvel em m/s e) o instante em que passa pela oriem das posições; f) o deslocamento entre 1 e 5s.

Este aplicativo mostra de forma dinâmica a variação de um ponto P sobre a reta s = -10 + 5t, que representa o Movimento Uniforme de um móvel.
A seguir é mostrado protocolo de construção para se refazer a figura no GEogebra.
PROTOCOLO DE CONSTRUÇÃO
ATENÇÃO:
1) Usou-se na ENTRADA o comando Função[f(x0 , limite inferiro do gráfico , limite superior do gráfico ] para delimitar o estudo em apenas um trecho da trajetoria.
2) Veja que existe um ponto P que desliza sobre a reta, comandado pelo Seletor a, e P é da forma P=( a , f(a)), sendo P_x=(a, 0) e P_y=(0 , f(a)) suas projeções nos eixos coordenados.
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ATENÇÃO:1) A velocidade de A é positiva, logo o movimento é Progressivo ( s crescentes)
2) A velocidade de B é negativa, logo o movimento é Retrógrado ( s decrescente)
3) No encontro sA sB e tA = tB.
PROTOCOLO DE CONSTRUÇÃO DA FIGURA ACIMA
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(quem precisar do aplicativo solicitar para djalmahg@hotmail.com)
O conceito de força de atração entre duas cargas e a força que entre elas se origina pode ser
estudado de mdo didático pelo Geogebra, bem como o conceito de campo elétrico (E) e a carga
que o origina e como comprovar sua existência. O modo donãmico do aplicativo permite ao
professor mostra através do Data-show a dinâmica do fenômeno em estudo.
Vai-se mostrar a interação entre 2 cargas eletrizadas e as forças de atração e repulsão, bem como
o vetro campo elétrico na região.
PROTOCOLO DE CONSTRUÇÃO
Uma carga central Q negativa, cria ao seu redor umcampo de APROXIMAÇÃO
Por outro lado se q < 0 e Q < 0 geram entre si uma força de repulsão, onde
o campo E a a força F tem sentidos opostos no ponto P ondse esta a carga de prova.
CAMPO CRIADO SOBRE UMA CARGA DE PROVA q NEGATIVA COLOCADA NUMA REGIÃO DE CARGA CENTRAL q POSITIVA
Uma carga central Q POSITIVA, cria ao seu redor umcampo de AFASTAMENTO
Por outro lado se q < 0 e Q > 0 geram entre si uma força de atração, onde
o campo E a a força F tem mesmo sentidos no ponto P ondse esta a carga de prova.
No Geogebra há um modo bem prático de simular o trajeto do raio de luz =, usando apenas as funções lógicas SE e E., conforme o exemplo abaixo.
PROCEDIMENTO
O raio
incidente deve seguir o percurso HA – AB – BI e este caminho pode ser descrito
pelo ponto P (x, y) para mostrar aos alunos a trajetória do mesmo.
Portanto:
a)
Defino
a função definida por H(0, 8) e A (4, 4)
m
= -1 e y –
8 = -1(x – 0) logo y =
8 - x
b)
Defino
a função definida por A(4 , 4) e B(6 , 0)
m
= -2
e y – 0 = -2(x – 6) logo
y = 12 - 2x
c)
Defino
a função definida por B(6 , 0) e I(10 , -4)
m
= -1
e y – 0 = -1(x – 6) logo
y = 6 - x
Agora vou definir o
ponto para percorrer o trecho citado acima
Na ENTRADA digito
Se[ (a >=0) ^
(a<=4), (a , 8 - a ) , se[(a > 4) ^
(a<=6) , (a , 12 – 2a ) , se[ ((a > 6 )
^ (a<=8) , (a , 6 – a)
]]]
Deste
modo obtenho o ponto P para se movimentar pela trajetória do raio.
Na Física este procedimento ajuda muito na construção de figuras com o Geogebra.
Gostei muito.
ResponderExcluirVisite meu Blog : http://amatematicageogebra.blogspot.com.br
ResponderExcluirFiz alguns aplicativos para Matemática muito interessantes, quem sabe não vá servir para você.