Os números relativos sempre foram o terror dos alunos, principalmente quando se trabalha com parcelas positivas e negativas, com a operação subtração que é a inversa da soma, na multiplicação de parcelas de sinais iguais e diferentes.
A partir da análise destas dificuldades procurei montar na linha de grade do Excel um aplicativo a ifim de ajudar os alunos a entenderem o processo envolvidos nas 4 operações com números relativos.
Espera-se que, a partir destes modelos tanto aluno quanto o professor possam criar outros modelos que se enquadrem nas necessidades da turma.
Clique no link abaixo para analisar o aplicativo proposto.
Bom divertimento.
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AkXpGe_InwGVdEN3R3RoRThaTFNNSndyMndhdGRJS0E#gid=3
APLICATIVO PARA O ESTUDO DA FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
O estudo das funções do primeiro grau, linear e constante é de grande importância na prática, pois, a maioria dos problemas é resolvido por estas funções, principalmente na vida acadêmica do aluno, onde elas o acompanham diariamente em seus estudos. Porém ela é aprendida de forma mecânica pelo analítico, onde a visualização geométrica do problema é dado pouco valor.
Este aplicativo sugere um estudo gráfico em que se possam analisar os principais pontos que definem estas funções tais como:
a) Quem da a inclinação da reta?
b) Onde a reta fura o eixo vertical? Qual o significado deste ponto? E na Física?
c) Onde a reta fura o eixo vertical? Qual o significado deste ponto? E na Física?
d) Onde a função assume valores positivos e negativos.
Então, através da análise gráfica das funções do primeiro grau, linear e constante, procurou-se responder às referidas perguntas acima.
Abaixo encontra-se o link para o referido aplicativo
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AkXpGe_InwGVdHJsU21xQWF1aTZVU0dnaFEzLVhtN0E#gid=0
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Neste aplicativo é trabalhada a resolução de equações do primeiro grau procurando mostrar ao aluno que a resolução de uma equação não se limita à troca de sinal quando a parcela muda de lado do sinal da igualdade, mas através do raciocínio lógico, pensar num processo de completar ou retirar quadradinhos da igualdade, onde ele possa visualizar o processo efetuado, não como uma mágica, mas como uma operação de igualar parcelas, através do uso de quadradinhos. Caso desejar, você também pode montar este aplicativo através do uso de grade do Excel, que ficará mais fácil para o aluno entender.
Abaixo disponibilizo o link do referido aplicativo
https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AkXpGe_InwGVdDFma1lLUGVKTVhNbFNCMHN4UkNLWXc#gid=1
INTRODUÇÃO
a)Num primeiro instante imaginemos que você disponha de R$ 5,00 em moedas.
b) No segundo mês você deseja dobrar este valor, logo terá que depositar R$ 5,00 para obter total1 = 2 * 5 = R$ 10,00.
c) No terceiro mês você irá dobrar a quqntia anterior, logo deverá depositar R$ 20,00, para obter um total2 = 2*10 = R$20,00
d) Se continuar neste procedimento ao final de n meses você tera um total acumulado de 2*an-1.
Veja que você foi dobrando as parcelas mês a mês e, é justamente isto que ocorre na prática comercial onde, o valor aplicado ou emprestado iráaumentando de i % sobre a parcela anterior, e não sobre a parcela inicialmente tomada como referência.
Então pode-se concluir que a dívida do cheque especial e do cartão cresce em P.G., fazendo com que ocorra um abismo entre o noso poder de pagamento e a dívida acumulada, já que o salário mensal praticamente é fixoe nossa dívida cresce em P.G. , mostrando queaP.G. está intimamente ligada ao nosso cotidiano.Então pode-se concluir que a dívida do cheque especial e do cartão cresce em P.G., fazendo com que ocorra um abismo entre o noso poder de pagamento e a dívida acumulada, já que o salário mensal praticamente é fixo e nossa dívida cresce em P.G. , mostrando que a P.G. está intimamente ligada ao nosso cotidiano.
O presente aplicativo irá trabalhar o conceito de juro composto incidindo mês a mês sobre o capital disponível, onde será montada uma planilha para o professor trabalhar com seus alunos e outra de atividade a ser preenchida pelo aluno.
Deste modo pretende-se mostrar o que significa realmente o juro composto no dia a dia das pessoas.
Professor Djalma
ATIVIDADE 1
No dia 1º de janeiro de 2011, uma pessoa resolveu aplicar a quantia de de R$ 1.000,00 em uma aplicação bancária com a taxa de juros de 2 % a.m. Ele deseja retirar este valor no dia 30 de Novembro de 2011, para poder gastar nas festas de fim de ano. Vamos ajudar nosso amigo a simular quanto irá obter em juros e a quantia total para gastar.
Conclusão Onze meses depois ele irá obter R$ 243,37 de juros compostos resultando num montante de R$ 1,243,37.
CONCLUSÃO: Se ele aplicar a quantia á taxa de 2% a.m. obterá um Montante maior em relação ao ato de guardar mensalmente. em casa R$20,00. Esta diferença torna-se maior ainda quando se trabalha com valores maiores
MONTANDO UMA P.G. USANDO O CONCEITO DE DOBRO, TRIPLO, ...
A Progrssão Geométrica é muito importante no Ensino Médio, bem como nas aplicações matemáticas, porém o seu entendimento pelos alunos é muito complexo, uma vez que os mesmos se perdem nas fórmulas e não chegam a um resultado desejado. Será que existe um modo mais simples de se mostrar o conceito desta sequência numérica.
Um modo pensado foi de se trabalhar com o conceito de dobro, triplo, quadruplo, etc, uma vez que a sequência, a1 , a2, a3, a4, ..., an, possui razão definida por q = a2 / a1 = a3 / a2 / a4 / a3 = ... = constante.
Assim a2 = a1*q, a3 = a2 * q, ... .
O exemplo abaixo mostra uma P.G. de 4 elementos para razão q = 2 e q = 3.
Logo é um modo simpoles de se repassar o conceito de formação de P.G, a partir das definições de dobro, triplo e outros que podem ser utilizados.
USO DA LINHA DE GRADE NO ESTUDO DA GEOMETRIA PLANA - CURSO SOBRE O USO DAS TICs
Este material faz parte do cuso sobre o uso das TICs no ensino aprendizagem. e foi montado em Power Point., Veja abaixo as fotos desta apreentação:
A GEOMETRIA PLANA E O COMPUTADOR
1) linha de grade do Excel, que simula um paint quadriculado, com a vantagem de apresentar os cálculos e textos integrados com as figuras montadas;
2) do software Winplot, que simula de modo dinâmico as propriedades da geometria plana.
Sendo assim, espera-se que a partir destes trocas de idéias possamos montar um estudo básico que integre a sala de aula, o laboratório de Matemática e o laboratório de Informática.
DESENHANDO FIGURAS COM AS LINHA DE GRADE DO EXCEL
As linhas de grade do Excel podem ser quadriculadas para se tornar um Paint quadriculado, uma vez que, através da FORMATAÇÃO DE CÉLULAS / BORDA pode-se desenhar figuras geométricas planas, juntamente com o uso das ferramentas de DESENHO disponíveis na barra de menu do Excel.
Assim, pode-se criar figuras e pintá-las depois, mostrando que o Excel não é só planilha de cálculo como muitos pensam,
A seguir será mostrado construção de uma casa com vários detalhes, que batizei de A Casa de Meus Sonhos e um arranha-céu.
Que tal uma bela casa deste porte, num local bem bucólico com vista panorâmica para uma linda paisagem cortada por um caudaloso rio muito piscoso. Pois é, esta será a casa dos sonhos localizada num lugar tranquilo e sem violência, onde a voz do vento e o trinar dos pássaros e o passeio dos animais sejam a
orquestra filarmônica a encher nosso espírito de luz e alegria.
Bem, se você acha que este lugar é muito monótono, que tal continuar morando na selva urbana com todos os seus contratempos.
A escolha é sua, faça a opção!
Veja que este pequeno texto ilustra dois desenhos feitos com a linha de grade do Excel.
Agora é com você, tente e faça o seu desenho e nos informe o resultado.
O professor Djalma estava à procura de um modo mais fácil de trabalhar a montagem das retas paralelas e transversais, para o estudo do Teorema de Tales no Excel, sem recorrer ao uso das funções e tabelas.
--- Mas como montar as retas sem tabelas e funções? Pensou o professor. Pelo que já estudei, me parece impossível resolver sem usar estas ferramentas.
Mas, nosso professor, esqueceu que o potencial do Excel é grande, e muita coisa ainda está escondida neste aplicativo. Assim, andava ele pela escola, encucado com mais este desafio, quando se deparou com a figura de nosso personagem Zé das Dúvidas, que vinha todo alegre pelo corredor a azucrinar a vida dos colegas. E, ao chegar perto do aluno disse:
--- Bom dia Zé das Dúvidas, o que aconteceu que você esta todo feliz hoje?
--- Meu profê deixe te contar: estava eu a malinar em meu computador, quando de repente, resolvi abrir o Excel e tentar desenhar neste aplicativo.
--- Desenhar neste aplicativo? Indagou o professor assustado.
--- Sim meu querido, o senhor sabe que o Excel é formado por células que podem ter suas dimensões manipuladas pela gente, certo?.
--- Certo, meu garoto, mas ainda não percebi aonde quer chegar?
--- Mas profê, veja o seguinte, se eu quadricular uma região do Excel de 20 linhas por 20 colunas eu monto um Paint no Excel e daí é só usar as ferramentas de Desenho e a função FORMATAR CÉLULAS / BORDAS, que poderei desenhar muita coisa com traçados retos, pois os curvos vão me dar mais trabalho e no momento eu não pensei neles ainda. Viu que maravilha este achado meu caro mestre.
--- Mas Zé das Dúvidas, você não só achou uma bela saída para se usar o Paint dentro do Excel, como acaba de resolver o problema matemático que me atormentava há dias. Sabe qual é?
--- Montar o Teorema de Tales no Excel, sem usar tabelas e funções, pois agora ficou fácil garotão, já que posso usar sua descoberta e montar minha figura, que ainda vai me sobrar espaço para as contas, que é o forte do Excel. Valeu meu pequeno infante, vou já para o labin, montar meu programa, tchau.
Assim, o professor seguiu para o Labin e montou a figura abaixo com os cálculos e resolveu seu dilema, sem o uso de tabelas e funções, formatando uma tela quadriculada com 20 linhas e
20 colunas, onde usou-se FORMATAR / LINHA / ALTURA DA LINHA 45. Deste modo, a tela pode funcionar como um Paint, onde fica muito mais fácil desenhar as figuras geométricas, e no espaço restante pode-se trabalhar os cálculos necessários para a solução do problema.
A seguir propõe-se um modelo de folha de atividade baseado no Geoplano Retangular do Laboratório de Matemática da escola, que pode ser trabalhado de forma integrada LABIN-LABMAT, constando de:
a) Título da atividade;
b) Geoplano digital ;
c) Objetivo da atividade;
d) Considerações teóricas;
e) Conclusões práticas e cálculos
f) Conclusão final;
g) Membros do grupo de trabalho
Portanto na informática, é fundamental a interação professor - aluno na construção do conhecimento, o que vem provar que o conhecimento não é, e nunca foi, posse de uma só pessoa, mas sim o produto de uma interação contínua na busca de soluções para o nosso dia a dia.
QUADRADO DE VÉRTICES A( -2 , 2), B(2 , 2), C( 2 , - 2) E D( - 2 , - 2) COM A LINHA DE GRADE DO EXCEL:
OBJETIVO: Desenhar o quadrado e obter as equações das retas que passam pelos lados do quadrado.
CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
1)RETA DO LADO AB: Sejam os pontos A(-2 , 2) e B (2 , 2) . Sobre o segmento AB existe um ponto genérico P(x , y). A equação geral da reta pode ser obtida da condição de alinhamento de 3 pontos, logo tem-se que:
-4 + 2x + 2y - 2x - 4 - (-2y) = 0
==> 4y = 8
==> y = 2 ou y - 2 = 0
2)RETA DO LADO BC: Sejam os pontos B(2 , 2) e C(2 , - 2) . Sobre o segmento BC existe um ponto genérico P(x , y). A equação geral da reta pode ser obtida da condição de alinhamento de 3 pontos, logo tem-se que:
-4 + 2x + 2y - (-2x) - 4 - 2y = 0
==> 4x= 8
==> x = 2 ou x - 2 = 0
3)RETA DO LADO AD: Sejam os pontos A(-2 , 2) e D (- 2 , - 2) . Sobre o segmento AD existe um ponto genérico P(x , y). A equação geral da reta pode ser obtida da condição de alinhamento de 3 pontos, logo tem-se que:
4 + 2x - 2y - (-2x) - (- 4) - 2y = 0
==> 4x = - 8
==> x = - 2 ou x + 2 = 0
4)RETA DO LADO CD: Sejam os pontos C(2 , - 2) e D (- 2 , - 2) . Sobre o segmento CD existe um ponto genérico P(x , y). A equação geral da reta pode ser obtida da condição de alinhamento de 3 pontos, logo tem-se que:
- 4 - 2x - 2y - (-2x) - 4 - 2y = 0
==> 4y = -8
==> y = - 2 ou y + 2 - 0
Portanto tem-se 4 retas distintas; reta AB y = 2 , reta BC x = 2, reta AC x = -2 e reta CD y = -2
CONCLUSÃO FINAL
A equação geral da reta é dada por ax + by + c = 0.
A equação reduzida é dada por: y = (-a/b) x - c/b, x onde (-a/b) = coeficiente angular da reta e (-c/b) = coeficiente linear da reta.
RETA AB: y - 2 = 0 (a = 0, b= 1 e c = -2) ==> -a / b = 0 ==> coeficiente angular é zero logo possui inclinação de 0º, e - c / b = -(-2)/1 = 2 logo o coeficiente linear é 2 ==> intercepta o eixo Oy em (0 , 2).
RETA BC: x - 2 = 0 (a=1, b = 0 e c = -2) ==> -a / b = -1/0 não é definido nos Reais. ==> não existe coeficiente angular e a reta forma 90º com a horizontal. e - c / b = -(-2)/0 não é definido nos Reais, logo o coeficiente linear também não existe.. A reta BC é perpendicular à reta AB e pela condição de perpendicularidade coef ang BC = -1 / coef ang AB = -1 / 0 , não é definido nos reais.
RETA AD: x + 2 = 0 (a=1, b = 0 e c = 2) ==> -a / b = -1/0 não é definido nos Reais. ==> não existe coeficiente angular e a reta forma 90º com a horizontal. e - c / b = - 2 / 0 não é definido nos Reais, logo o coeficiente linear também não existe.. A reta AD é perpendicular à reta AB e pela condição de perpendicularidade coef ang AD = -1 / coef ang AB = -1 / 0 , não é definido nos reais.
RETA CD: y + 2 = 0 (a = 0, b= 1 e c = 2) ==> -a / b = 0 ==> coeficiente angular é zero e - c / b = - 2 / 1 = - 2 logo o coeficiente linear é - 2 ==> intercepta o eixo Oy em (0 , 2).. Por outro lado a reta CD é perpendicular à reta AD e pela condição de perpendicularidade coefang CD = -1 / coef ang AD = -1 / (-1/0) = 0*1 = 0 . Possui inclinação de 0º .
Por outro lado tem-se que AB // CD e AC // BC.
Por outro lado tem-se que AB // CD e AC // BC.
TEOREMA DE TALES NO MODO TELA DE GRADE QUADRICULADA
Após ter montado a ficha de atividade para ser usada de modo integrado pelos alunos no LABMAT E NO LABIN da escola, o professor Djalma montou o seguinte problema.
Sejam três retas paralelas entre si (r // s // t), cortadas por duas transversais p e q, que determinam sobre p e q respectivamente os seguintes segmentos AB = 18 cm, BC = 12 cm, DE = 3 cm E EF = x cm. Deseja-se calcular o valor de x através do Teorema de Tales.
Abrindo a planilha Excel o professor montou o problema e sua resolução segundo a figura ao lado
Como o Teorema garante que AB / DE = BC / EF ==> 18 / 3 = 12 / X
==> X = 2 cm e a constante de proporcionalidade K = 6
Portanto, a partir da dica do aluno, o professor pode abrir seu campo de pesquisa no Excel e partir agora, para novos problemas, utilizando a linha de grade no modo quadriculada.
DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS
É um conceito utilizado desde a primeira série do ensino médio, principalmente na Física.
A distância pode ser medida
a) sobre o eixo Ox: delta x = I x2 – x1 I
b) sobre o eixo Oy: delta y = I y2 – y1 I
c) numa posição inclinada entre dois pontos dados
PROCESSO PRÁTICO
Um processo prático de se calcular as distâncias dx e dy é colocar-se as ordenadas dos pontos A e B uma debaixo da outra e efetuar-se as diferenças x2 – x1 e y2 – y1, na vertical . Veja o modelo abaixo, para A (x1 , y1) e B (x2 , y2).
Com os valores de dx e dy calcula-se a distância d pedida entre A e B por Pitágoras
d = raiz (dx^2 + dy^2 )
A seguir tem-se a figura abaixo com os 3 casos de distância entre 2 pontos montados no Excel.
1º Caso: Pontos A e B sobre o eixo horizontal ==> A ( x1 , 0 ) e B (x2 , 0 )
2º Caso: Pontos A e B sobre o eixo vertical ==> A ( 0 , y1 ) e B (0 , y2 )
3º Caso: Caso geral: Pontos A e B sobre uma reta inclinada ==> A ( x1 , y1 ) e B (x2 , y2 )
TRABALHANDO COM FUNÇÕES NA LINHA DE GRADE DO EXCEL
A linha de grade do Excel, aparentemente não tem muito valor para o estudo da matemática, já que o forte deste aplicativo são as tabelas e gráfico de funções através do MODO DISPERSÃO XY.
Mas engana-se quem pensa deste modo, pois a partir do momento que se quadricula a linha de grade como o modelo ao lado, tem-se um poderoso Paint quadriculado, onde se pode estudar toda a Geometria Plana e as funções lineares e do primeiro grau, sem recorrer à construção gráfica pelo aplicativo, tão temida por muitos.
Mas engana-se quem pensa deste modo, pois a partir do momento que se quadricula a linha de grade como o modelo ao lado, tem-se um poderoso Paint quadriculado, onde se pode estudar toda a Geometria Plana e as funções lineares e do primeiro grau, sem recorrer à construção gráfica pelo aplicativo, tão temida por muitos.
Foi proposto então um modelo de trabalho para este tipo de planila,conforme foto ao lado. Vai-se mostrar alguns exemplos deste modelo de aplicação.
FUNÇÃO IDENTIDADE ( y = x)
FUNÇÃO IDENTIDADE ( y = x)
Representa a bissetriz do 1º e 3º quadrante. É uma função importante pois a partir dela pode-se:
a) construir a função linear y = a.x , através de uma rotação de um ângulo alfa, cuja tangente deste ângulo é numericamente igual ao valor de a;
b) a função do primeiro grau y = a.x +b, através da rotação de um ãngulo alfa, seguido de uma translação de b sobre o eixo vertical Oy.
A tabela nos mostra que para cada valor de x tem-se um y = x, definindo assim a bissetriz y = x dos 1º e 3º quadrantes.b) a função do primeiro grau y = a.x +b, através da rotação de um ãngulo alfa, seguido de uma translação de b sobre o eixo vertical Oy.
E como obter então a função y = ax e y = ax + b?
1º) rotaciona-se a reta y = x de um ângulo alfa, no sentido antihorário e obtem-se y = a.x2º) translada-se de b a reta no eixo verttical Oy e obtem-se y = ax + b.
Assim, a partir de y = x pode-se obter as funções y = 2x e y = 2x + 4, rotacionando de um ângulo de arctan (2) = 63,45º e transladando de + 4 no eixo vertical.
Tente agora com outros valores de a e b.
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