O Geogebra é um software gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo.
Possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas, e permite que , equações e coordenadas possam ser inseridas diretamente. Assim, tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si:
a) sua representação geométrica e b) sua representação algébrica
LINKS SOBRE O GEOGEBRA
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/apostilas/diversos/geogebra.pdf
EXEMPLO1: Construir um retângulo
COMANDOS A SEREM UTILIZADOS
a) Construa um ponto A clicando no botão NOVO PONTO, e a seguir, , clique num local da janela gráfica onde deseja colocar o ponto A.
b) Construa uma perpendicular por A ao eixo horizontal, usndo o comando RETA PERPENDICULAR e a seguir, , clica-se no eixo dos x e no ponto A para se obter o traçado da perpendicular
c) Marca-se sobre a perpendicular um ponto B clicando-se no comando NOVO PONTO e sobre a reta.
d) Tra~ça-se outra perpendicular ao eixo vertical por B, clicando no comando RETA PERPENDICULAR e a seguir no ponto B e no eisxo vertical.
e) msarca-se o ponto C a direita da perpendicular ao eixo horizontal, usando o comando NOVO PONTO e clicando sobre a perpendicular ao eixo vertical, obtendo o ponto C
h) para se obter o ponto D clica-se no MENU NOVO PONTO / INTERSEÇÃO DE 2 OBJETOS e a seguir clica-se no cruzamento das reta que definem o ponto D.
h) Finalmente vai-se definir o polígono usando o comando POLIGONO, e usando o comando ARRASTAR, clica-se no ponto A e arrasta-se o mouse pelos pontos B, C, D e A novamente, para se obter o polígono.
PROVANDO A SOMA DE UMA PG INFINITA POR TRIGONOMETRIA
No caderno do professor da fundação CESGRANRIO, no curso de Pós Graduação Lato Sensu – Especilalização em Avaliação Escolar foi proposta a demonstração abaixo utilizando a Trigonometria .
A demonstração é uma interessante alternativa para se provar a soma de uma PG infinita, sem recorrer diretamente aos conceitos do cálculo, já que induz o aluno a concluir a validade da fórmula.
Utilizou-se o Geogebra para montar a demonstração de modo gráfico, conforme figura abaixo.
Usando a propriedade a) tem-se que:
no triângulo AAoBo è AoA1 = 1
no triângulo AA1B1 è A1A2 = cos α e A1B1 = A0A1 = 1
no triângulo AA2B2 è A2A3= (cos α)^2 e A2B2 = A1A2 = cos α
e assim sucessivamente.
Tem-se que AAo = 1 + cos α + (cos α)^2 + ... , e α diferente de +/- PI/2.
Porém AAo representa a soma de uma PG infinita definida por S = a1 / (1 – q), onde a1 =1 e q = cos α.
MUDANÇA DO ESTADO FÍSICO DA ÁGUA
Uma aplicação interessante do Geogebra é o da mudança do estado físwico da água à pressão constante, pois este gráfico é visto no 2º ano do Ensino Médio e pode-se relacionar o mesmo com a curva de mudança de estado físico da àgua. Inicialmente vai-se montar a curva de mudança, vista na Química, conforme figura ao lado. 
Os comandos utilizados estão ao lado para servir de orientação para quem desejar refazer amontagem no referido aplicativo. Foi colocado um ponto P sobre a curva que "passeia" entre os 3 estados físicos para uma certa pressão constante dada. 
PROCEDIMENTOS
A) importa-se a figura da curva de mudança da água pelo comando INSERIR IMAGEM.
B) Marca-se um ponto A=(2,5) na região sólida.
C) Por A tira-se uma perpendicular ao eixo vertical.
D) Onde a reta cruzar o gráfico marcam-se os pontos B sobre a curva de fusão o, C na fase líquida, D sobre a curva de vaporização e F sobre a fase vapor.
E) Marca-se o segmento AF sobre a reta.
F) Pelos referidos pontos traçam-se as perpendiculares ao eixo horizontal obtendo-se os pontos T1, T2, T3, T4 e T5 sobre o eixo Ox.
G) Marcam-se os segmentos AT1, BT2, CT3, DT4 e FT5. A seguir em propriedades altera-se o estilo dos mesmos para tracejados.
H) Ocultam-se As retas perpendiculares aos eixos em propriedade de cada reta.
COLOCAÇÃO DO PONTO P SOBRE O SEGMENTO AF
I) Insere-se um seletor a no intervalo [2 , 8]
J) Insere-se no comando ENTRADA o ponto P=(a , 5) comandado pelo seletor a.
K) Anima-se o seletor em suas propriedades.
L) Tem-se então o ponto “passeando” sobre AF, mostrando de forma dinâmica as passagens definidas na Física e na Química para uma certa pressão constante.
GRÁFICO COMPARATIVO DA FÍSICA E DA QUÍMICA
VELOCIDADE MÉDIA ENTRE 2 PONTOS
Dados os pontos A=(t1 , s1) e B=(t2 , s2) define-se a velocidade média entre A e B à relação:
Vm = delta s / delta t = 9s2 – s1) / (t2 – t1)Exemplo: Um móvel passa pelos pontos A=(2 , 9) e B=(7 , 14), onse (t=s , s=m). Calcular a velocidade média no trecho AB.
resolvendo pelo Geogebra tem-se a figura abaixo:
PROCEDIMENTO NO GEOGEBRA
a) Na ENTRADA digitam-se A=(x1=2 , y1= 9) e B=(x2=7 , y2=14).
b) Pelos pontos A e b determina-se a reta r pelo comando CRIAR RETA POR 2 PONTOS
c) A declividadade da reta m será dado por
m = vm = delta s / delta t = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m = (14 - 9) / (7 - 2) = 1
CALCULO DA FUNÇÃO HORÁRIA
d) Seja Pentre A e B de modo a se ter a figura ao lado
por semelhança de triãngulo tem-se que
triâng ABC semelhante triang APC' logo
(14 - 9) / (7 - 2) = ( y - 9 ) / 9x - 2)
==> y = x + 7 (ou s = t + 7 )
e) No Geogebra insere-se um seletor a no
intervalo [2 , 7].
f) Na ENTRADA insere-se função[x + 7 , 2 , 7]
g) na ENTRADA digitam-se P=(a , f(a)), P_x=(a , 0) e P_y=(0 , f(a)).
h) A seguir definem-se os segmentos para ancorar P: PP_x e PP_y e em propriedades marca-se o estilo tracejado.
i) Conforme p anda pelo segmento AB dá para se perceber que a inclinação da reta é constante, o que caracteriza a velocidade média no trecho dada por delta s / delta t.
ANÁLISE GRÁFICA DO M.U. NO GEOGEBRA
Dado um gráfico s = f(t), pode-se no Geogebra fazer a construção do grafico de v = f(t) e a partir dai fazer uma análise gráfica do movimento e tirar as conclusões a partir dos mesmos.
para tornar
EXEMPLO:
Um ponto material realiza M.U. de função horária s = -10 + 5t (S.I.) Pede-se:a) gráfico de s = f(t); b) o gráfico v = f(t); c) o espaço inicial em metros; d) a velodicade inicial do móvel em m/s e) o instante em que passa pela oriem das posições; f) o deslocamento entre 1 e 5s.
Este aplicativo mostra de forma dinâmica a variação de um ponto P sobre a reta s = -10 + 5t, que representa o Movimento Uniforme de um móvel.
A seguir é mostrado protocolo de construção para se refazer a figura no GEogebra.
PROTOCOLO DE CONSTRUÇÃO
ATENÇÃO:
1) Usou-se na ENTRADA o comando Função[f(x0 , limite inferiro do gráfico , limite superior do gráfico ] para delimitar o estudo em apenas um trecho da trajetoria.
2) Veja que existe um ponto P que desliza sobre a reta, comandado pelo Seletor a, e P é da forma P=( a , f(a)), sendo P_x=(a, 0) e P_y=(0 , f(a)) suas projeções nos eixos coordenados.
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ATENÇÃO:1) A velocidade de A é positiva, logo o movimento é Progressivo ( s crescentes)
2) A velocidade de B é negativa, logo o movimento é Retrógrado ( s decrescente)
3) No encontro sA sB e tA = tB.
PROTOCOLO DE CONSTRUÇÃO DA FIGURA ACIMA
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(quem precisar do aplicativo solicitar para djalmahg@hotmail.com)
O conceito de força de atração entre duas cargas e a força que entre elas se origina pode ser
estudado de mdo didático pelo Geogebra, bem como o conceito de campo elétrico (E) e a carga
que o origina e como comprovar sua existência. O modo donãmico do aplicativo permite ao
professor mostra através do Data-show a dinâmica do fenômeno em estudo.
Vai-se mostrar a interação entre 2 cargas eletrizadas e as forças de atração e repulsão, bem como
o vetro campo elétrico na região.
PROTOCOLO DE CONSTRUÇÃO
Uma carga central Q negativa, cria ao seu redor umcampo de APROXIMAÇÃO
Por outro lado se q < 0 e Q < 0 geram entre si uma força de repulsão, onde
o campo E a a força F tem sentidos opostos no ponto P ondse esta a carga de prova.
CAMPO CRIADO SOBRE UMA CARGA DE PROVA q NEGATIVA COLOCADA NUMA REGIÃO DE CARGA CENTRAL q POSITIVA
Uma carga central Q POSITIVA, cria ao seu redor umcampo de AFASTAMENTO
Por outro lado se q < 0 e Q > 0 geram entre si uma força de atração, onde
o campo E a a força F tem mesmo sentidos no ponto P ondse esta a carga de prova.
No Geogebra há um modo bem prático de simular o trajeto do raio de luz =, usando apenas as funções lógicas SE e E., conforme o exemplo abaixo.
PROCEDIMENTO
O raio
incidente deve seguir o percurso HA – AB – BI e este caminho pode ser descrito
pelo ponto P (x, y) para mostrar aos alunos a trajetória do mesmo.
Portanto:
a)
Defino
a função definida por H(0, 8) e A (4, 4)
m
= -1 e y –
8 = -1(x – 0) logo y =
8 - x
b)
Defino
a função definida por A(4 , 4) e B(6 , 0)
m
= -2
e y – 0 = -2(x – 6) logo
y = 12 - 2x
c)
Defino
a função definida por B(6 , 0) e I(10 , -4)
m
= -1
e y – 0 = -1(x – 6) logo
y = 6 - x
Agora vou definir o
ponto para percorrer o trecho citado acima
Na ENTRADA digito
Se[ (a >=0) ^
(a<=4), (a , 8 - a ) , se[(a > 4) ^
(a<=6) , (a , 12 – 2a ) , se[ ((a > 6 )
^ (a<=8) , (a , 6 – a)
]]]
Deste
modo obtenho o ponto P para se movimentar pela trajetória do raio.
Na Física este procedimento ajuda muito na construção de figuras com o Geogebra.
Gostei muito.
ResponderExcluirVisite meu Blog : http://amatematicageogebra.blogspot.com.br
ResponderExcluirFiz alguns aplicativos para Matemática muito interessantes, quem sabe não vá servir para você.